Nach dem Abitur studierte er ab 1871 Medizin, u. a. in Berlin. Chirurgische Ausbildung erhielt er bei Wilms im Krankenhaus Bethanien in Kreuzberg. 1889 wurde er zum Direktor des Krankenhauses Am Urban berufen, dessen chirurgische Abteilung er bis 1924 geleitet hat. Körte war ein Pionier auf dem Gebiet der Gallen- und Bauchspeicheldrüsenchirurgie, der durch Fachpublikationen und neuartige Operationsmethoden das Krankenhaus bekannt machte. Körte war über 30 Jahre Mitherausgeber von "Langenbecks Archiv für Klinische Chirurgie" und wurde Ehrenpräsident der Deutschen Gesellschaft für Chirurgie. Er ist auf dem Friedhof der Dorotheenstädtischen und Friedrichswerderschen Gemeinde in der Chausseestraße beigesetzt.