Bäumer erlernte den Beruf eines Zahntechnikers. Vor 1914 legte er eine zivile Pilotenprüfung ab und meldete sich 1914 als Kriegsfreiwilliger. Er wurde für die Infanterie gemustert und kam im Oktober 1914 an die Westfront. Nach einer Flugausbildung kam er ab Mai 1917 als Jagdflieger zum Einsatz, er flog gemeinsam mit Leutnant Werner Voß. Im März 1918, nach mehr als 200 Abschüssen, wurde er zum Leutnant befördert. Er erhielt den Orden Pour le Mérite. 1919 arbeitete Baeumer kurze Zeit bei Blom & Voß in Hamburg, setzte dann aber die Fliegerei fort. In Hamburg-Fuhlsbüttel gründete er die Baeumer-Aero-Gesellschaft (Flugzeugbau und Pilotenausbildung). 1927 übernahm er das Einfliegen eines Rohrbach-Flugzeuges der Kopenhagener Filiale der Rohrbach-Werke. Am 15.7.1927 stürzte Baeumer bei einem der Probeflüge ab. Er wurde in Hamburg-Ohlsdorf beigesetzt.