Goetz besuchte das Thomasgymnasium, dann die Universität Leipzig. Von 1851 bis 1855 war er praktizierender Arzt in Gaithain und ging dann nach Leipzig zurück. Er war 1860 Mitbegründer der Turnervereine, die sich 1868 zur Deutschen Turnerschaft zusammenschlossen, und von 1861 bis 1895 Geschäftsführer ihres Ausschusses. Ab 1857 arbeitete Goetz als Redakteur der Deutschen Turnerzeitung. Von 1895 bis 1915 war Goetz in Leipzig Turnführer und Vorsitzender der Deutschen Turnerschaft. Von 1867 bis 1890 wurde er für die Sächsische Volkspartei in den Norddeutschen bzw. Deutschen Reichstag gewählt. 1911 gehörte Goetz zu den Mitbegründern des Bundes Jungdeutschland - der Dachorganisation aller bürgerlichen Jugendverbände - und war bis 1915 stellvertretender Vorsitzender des Bundes.