Er war das achte Kind des Predigers Johann Georg Olbers (1716–1772), der ab 1760 an der Domkirche in Bremen wirkte. Angeregt durch den Vater, interessierte er sich bereits in früher Jugend für die Sternkunde. Er entdeckte mit 14 Jahren das Siebengestirn, und seine Neugier trieb ihn zu den Büchern und Sternkarten, um diesen eher zufällig gemachten Fund einordnen zu können. Olbers studierte Medizin an der Universität Göttingen und promovierte dort am 28.12.1780 zum Dr. med. Er ging nach Wien und kam im Herbst 1781 über Prag und Dresden nach Bremen zurück. Bereits 1779 hatte Olbers seinen ersten Kometen entdeckt und dessen Bahn berechnet, worüber er in der Berliner Fachzeitschrift berichtete. Olbers praktizierte dann ab 1781 in Bremen als Arzt, sein Interesse galt jedoch weiterhin der Astronomie. In Bremen errichtete er 1799 eine Privatsternwarte, entdeckte sechs Kometen und berechnete zahlreiche Kometenbahnen. Er pflegte regen Briefwechsel mit dem Mathematiker und Astronomen Carl Friedrich Gauß (1777–1855). All seine zahlreichen Beobachtungen und Berechnungen von Sternen und Kometen fanden in Beiträgen von Fachzeitschriften ihren Niederschlag. Olbers wurde noch zu seinen Lebzeiten hoch geehrt. Er erhielt 1830 die Ehrendoktorwürden der Universitäten von Bonn und Kopenhagen.