Er war der Sohn des kaiserlichen Diplomaten Justus L. Friedländer (1835-1873. Nach dessen Tod heiratete Margarete Friedländer 1875 den kaiserlichen Diplomaten Clemens August Busch (1834-1895), der den zehnjährigen Felix 1881 adoptierte. Felix Busch erhielt zuerst Privatunterricht, besuchte dann bis 1885 das Wilhelms-Gymnasium in Berlin und bis März 1890 die Landesschule Pforta, wo er sein Abitur machte. Er studierte an den Universitäten Heidelberg, München und Berlin Rechtswissenschaft und bestand im Mai 1893 das Referendarexamen. Am 1.10.1893 ging Busch als Einjährig-Freiwilliger zum Militär. Als Referendar arbeitete er bei den Gerichten in Spandau und Berlin. Busch promovierte und legte im Februar 1900 sein Assessorexamen ab. Nach einer halbjährigen Ausbildung im Ausland lernte er bei der Norddeutschen Bank in Hamburg und der Berliner Disconto-Gesellschaft. 1906 heiratete Busch, inzwischen Landrat in Hörde, in Berlin Marie Fanny Margarete von Mendelssohn Bartholdy (1881-1970), Tochter des Berliner Bankiers Ernst Felix Moses von Mendelssohn Bartholdy (1846-1909). Mehrere Jahre war Busch danach beim Oberpräsidium in Posen beschäftigt. Von 1907 bis 1911 war er Vortragender Rat im preußischen Finanzministerium. Auf der Stufenleiter der Staatsbeamtenschaft schon bis zum Geheimen Oberregierungsrat aufgestiegen, wurde Busch am 1.7.1911 zum Landrat von Niederbarnim ernannt. Das Amt bekleidete er bis 1917. Ab 1917 arbeitete er als Unterstaatssekretär im preußischen Finanzministerium. Im März 1920 wurde er zur Disposition gestellt und bearbeitete fortan sein Gut in Büssow bei Friedberg. Er war Vorsitzender des Verbandes deutscher öffentlich-rechtlicher Kreditanstalten und hatte auch den Vorsitz im Aufsichtsrat der Deutschen Landesbanken-Zentrale. Er war Mitglied des vorläufigen Reichswirtschaftsrats. Busch, der durch seinen Freund Johannes Popitz (1884-1945) – ab 1933 preußischer Finanzminister – von den Plänen der faschistischen Regierung eine Vorstellung vermittelt bekommen hatte, war im August 1938 zutiefst deprimiert. Er stürzte sich aus einem fahrenden Zug bei Tutzing und wurde auf dem Friedhof in Tutzing beigesetzt.