Der Sohn eines Mühlenbauers studierte Architektur und war in den siebziger Jahren des 19. Jahrhunderts Stadtbaudirektor in Magdeburg. Bereits 1893 war er als freier Architekt in Zehlendorf tätig. Nach seinen Entwürfen wurde der Park des Berliner Hoteliers Ferdinand Keck – die „Keck'schen Grotten“ – angelegt, den er gemeinsam mit dem Obergärtner Wilhelm Derling gestaltete. Kleinau war Magistrats-Oberbaurat in Berlin. Er wohnte 1921 mit seiner Familie in Zehlendorf in der Argentinischen Allee 2.